En mars 2020, quand le Covid-19 a commencé à se propager en Afrique, les gouvernements avaient un besoin urgent : prévoir. Combien de personnes vont tomber malades ? En combien de temps ? Faut-il confiner ? Fermer les frontières ? Préparer des hôpitaux de campagne ?

Pour répondre à ces questions de vie ou de mort, les épidémiologistes ont utilisé un outil mathématique inventé en 1927 par deux chercheurs écossais — William Kermack et Anderson McKendrick. Un modèle si puissant et si élégant qu’il est encore aujourd’hui au cœur de toute modélisation épidémique : le modèle SIR.

L’histoire : une idée née d’une épidémie de peste

📜 Naissance du modèle SIR — 1927

En 1927, l’Inde britannique est ravagée par des épidémies récurrentes de peste et de choléra. William Kermack, un chimiste, et Anderson McKendrick, un médecin militaire, cherchent à comprendre pourquoi certaines épidémies s’éteignent d’elles-mêmes avant d’infecter toute la population.

Leur idée révolutionnaire : modéliser une population comme un système de flux entre trois compartiments. Les individus passent d’un groupe à l’autre selon des taux mathématiques précis. Avec ce modèle, ils parviennent à reproduire fidèlement les courbes épidémiques observées — et à prédire leur évolution.

Presque un siècle plus tard, ce même modèle — adapté et enrichi — a guidé les décisions sanitaires de 54 pays africains face au Covid-19. Les mathématiques de 1927 ont sauvé des vies en 2020.

Le modèle SIR : trois compartiments, une population

L’idée centrale est simple : à chaque instant, chaque individu d’une population appartient à l’un de ces trois groupes :

S
Susceptibles
Personnes saines pouvant être infectées
I
Infectés
Personnes malades et contagieuses
R
Rétablis
Guéris ou immunisés (ou décédés)

La population totale N reste constante : S + I + R = N. Les individus ne font que circuler entre ces trois groupes — jamais dans l’autre sens.

🔄 Flux entre les compartiments du modèle SIR
S Susceptibles β·S·I/N I Infectés γ·I R Rétablis Population totale N = S + I + R

Les équations : le langage mathématique de l’épidémie

Le modèle SIR est décrit par un système de trois équations différentielles — des équations qui décrivent comment chaque compartiment varie au fil du temps :

📐 Les équations du modèle SIR

dS/dt = −β × S × I / N

dI/dt = β × S × I / N − γ × I

dR/dt = γ × I

β (bêta) = taux de transmission (vitesse à laquelle S devient I)

γ (gamma) = taux de guérison (vitesse à laquelle I devient R)

dX/dt = variation de X par unité de temps (ici, par jour)

Note que dS/dt + dI/dt + dR/dt = 0 — ce qui confirme que la population totale est constante. Ce qui sort de S entre dans I, ce qui sort de I entre dans R.

Le nombre R₀ : le paramètre qui change tout

Du modèle SIR émerge un nombre fondamental qui résume la dangerosité d’une épidémie : le nombre de reproduction de base R₀ (prononcé « R zéro »).

R₀ = β / γ
R₀ représente le nombre moyen de personnes qu’un individu infecté contaminera dans une population entièrement susceptible. C’est le paramètre clé de toute épidémie.
🔑 Interprétation de R₀

R₀ < 1 → Chaque infecté contamine moins d’une personne → l’épidémie s’éteint naturellement ✅

R₀ = 1 → L’épidémie est stable — ni croissance ni déclin ⚠️

R₀ > 1 → Chaque infecté contamine plus d’une personne → l’épidémie se propage ❌

Pour le Covid-19 en Afrique : R₀ estimé entre 2 et 3 selon les pays et les variants.

Application au Bénin : simulons une épidémie

Appliquons le modèle SIR à une ville fictive de 100 000 habitants au Bénin, avec des paramètres inspirés des données Covid-19 africaines :

Paramètre Valeur Signification
N (population)100 000Habitants de la ville
I₀ (infectés initiaux)1010 cas au jour 0
S₀ (susceptibles initiaux)99 990Tout le monde sauf les 10
R₀ (rétablis initiaux)0Personne n’est encore immunisé
β (taux transmission)0,330% de chances de transmettre par contact
γ (taux guérison)0,1Guérison en ~10 jours en moyenne
R₀ = β/γ3,0Chaque infecté en contamine 3

Le code Python : simulons l’épidémie

Python # Modèle SIR – Simulation épidémie Covid au Bénin import numpy as np from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt # — Paramètres — N = 100000 # Population totale I0 = 10 # Infectés au jour 0 R0_init = 0 # Rétablis au jour 0 S0 = N – I0 – R0_init # Susceptibles au jour 0 beta = 0.3 # Taux de transmission gamma = 0.1 # Taux de guérison R0 = beta / gamma print(f »R₀ = {R0} → épidémie {‘croissante ⚠️’ if R0 > 1 else ‘décroissante ✅’} ») # — Équations différentielles SIR — def modele_SIR(y, t, N, beta, gamma): S, I, R = y dS = -beta * S * I / N dI = beta * S * I / N – gamma * I dR = gamma * I return [dS, dI, dR] # — Résolution — t = np.linspace(0, 200, 200) # 200 jours y0 = [S0, I0, R0_init] solution = odeint(modele_SIR, y0, t, args=(N, beta, gamma)) S, I, R = solution.T # — Résultats clés — pic_jour = t[np.argmax(I)] pic_infectes = int(max(I)) print(f »Pic épidémique : jour {pic_jour:.0f} ») print(f »Maximum d’infectés simultanés : {pic_infectes:,} ») print(f »Total infectés en fin d’épidémie : {int(R[-1]):,} ») # — Graphique — plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(t, S, ‘#2980b9’, linewidth=2, label=‘Susceptibles (S)’) plt.plot(t, I, ‘#c0392b’, linewidth=2.5, label=‘Infectés (I)’) plt.plot(t, R, ‘#27ae60’, linewidth=2, label=‘Rétablis (R)’) plt.axvline(x=pic_jour, color=‘#e67e22’, linestyle=‘–‘, label=f’Pic (jour {pic_jour:.0f})’) plt.xlabel(‘Jours’) plt.ylabel(‘Nombre de personnes’) plt.title(‘Modèle SIR – Simulation Covid, ville béninoise (100 000 hab.)’) plt.legend() plt.grid(alpha=0.3) plt.show()
💻 Résultats attendus

R₀ = 3.0 → épidémie croissante ⚠️

Pic épidémique : environ jour 70

Maximum d’infectés simultanés : ~23 000 personnes

Total infectés en fin d’épidémie : ~94 000 personnes

Sans intervention, près de 94% de la population est touchée !

L’impact des mesures sanitaires : les maths le montrent

C’est ici que le modèle devient un outil de décision politique. Les mesures sanitaires (masques, distanciation, confinement) agissent directement sur β — elles réduisent le taux de transmission.

Scénario β R₀ Pic (jour) Max infectés Total touchés
❌ Sans mesures 0,30 3,0 Jour 70 ~23 000 ~94 000 (94%)
⚠️ Mesures partielles 0,15 1,5 Jour 120 ~8 000 ~58 000 (58%)
✅ Mesures strictes 0,08 0,8 — ~200 ~500 (0,5%)

La différence est saisissante. Passer de R₀ = 3 à R₀ < 1 transforme une catastrophe sanitaire en épidémie maîtrisée. C’est ce calcul — mathématiquement précis — qui a justifié les confinements et les mesures barrières en Afrique en 2020.

Les épidémies ne se combattent pas seulement avec des médicaments. Elles se combattent d’abord avec des équations. — Principe de l’épidémiologie mathématique

Les limites du modèle SIR

⚠️ Ce que le modèle ne capture pas

1. Les variants : Chaque nouveau variant a son propre β et son propre γ — le modèle doit être recalibré.

2. L’hétérogénéité : Le modèle suppose que tout le monde se mélange uniformément — pas réaliste dans les grandes villes africaines avec des quartiers denses et d’autres dispersés.

3. La vaccination : Le modèle SIR de base ne prend pas en compte les vaccins — on utilise alors des versions enrichies (SEIR, SEIRV…).

4. Les comportements humains : Les gens changent de comportement face à l’épidémie — ce que les équations simples ne modélisent pas facilement.

5. Les données africaines : La sous-déclaration des cas en Afrique rend le calibrage difficile — les β et γ réels sont durs à estimer avec précision.

✏️ Exercice corrigé

Dans un quartier de Porto-Novo de 10 000 habitants, une épidémie de grippe débute avec 5 personnes infectées. On estime β = 0,25 et γ = 0,125.

a) Calcule R₀. L’épidémie va-t-elle se propager ?

b) Calcule dI/dt au jour 0 (avec S₀ ≈ N). L’épidémie croît-elle rapidement ?

c) Pour stopper l’épidémie, à quelle valeur maximale faut-il ramener β (en gardant γ = 0,125) ?

d) Quelle mesure concrète permet de réduire β ?

▸ Correction

a) R₀ = β/γ = 0,25/0,125 = 2,0

R₀ = 2 > 1 → Oui, l’épidémie va se propager. Chaque malade en contamine 2 en moyenne.

b) dI/dt = β×S×I/N − γ×I = 0,25×10000×5/10000 − 0,125×5

= 0,25×5 − 0,125×5 = 1,25 − 0,625 = +0,625 cas/jour

L’épidémie croît lentement au début — c’est la phase exponentielle initiale.

c) Pour stopper : R₀ < 1 → β/γ < 1 → β < γ = 0,125

Il faut ramener β en dessous de 0,125 (réduire la transmission de plus de 50%).

d) Mesures concrètes : port du masque, lavage des mains, distanciation physique, aération des espaces — tout ce qui réduit la fréquence et l’efficacité des contacts entre personnes. ✅

Ce qu’on retient

Le modèle SIR nous rappelle une vérité profonde : les mathématiques ne sont pas abstraites. Elles sont vivantes, ancrées dans la réalité, capables de sauver des vies. Des équations écrites en 1927 dans un laboratoire écossais ont guidé des décisions sanitaires au Bénin, au Sénégal, en Côte d’Ivoire et dans toute l’Afrique en 2020.

Et si tu regardes les courbes de l’épidémie Covid en Afrique — ce pic, cette descente, cette asymptote — tu vois maintenant ce que peu de gens voient : des équations différentielles en action.

Dans le prochain article, nous allons explorer un autre pilier des mathématiques modernes : les statistiques et la loi normale — cette courbe en cloche qui décrit les notes des élèves, la taille des adultes béninois, et presque tout ce qui varie dans la nature.